동류항을 모은다
같은 차수끼리 계수를 더하거나 뺀다
다항식의 덧셈·뺄셈은 차수가 같은 항(동류항)의 계수끼리 계산한다. 보통 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.
분배법칙과 곱셈공식
곱셈은 분배법칙으로 전개한다. 자주 쓰는 꼴은 공식으로 외워 두면 빠르다. (2022 개정에서 삼차 곱셈공식과 세 항의 제곱이 추가되었다.)
$=a^2 \pm 2ab + b^2$
$=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
$=a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$
$=(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
나눗셈 정리 A = BQ + R
몫 Q와 나머지 R
다항식 $A$ 를 $B\,(\neq 0)$ 로 나누면 $A = BQ + R$ 로 나타낼 수 있고, 나머지 $R$ 의 차수는 나누는 식 $B$ 의 차수보다 낮다. 일차식 $x-k$ 로 나눌 때는 조립제법으로 계수만 가지고 빠르게 계산한다.
조립제법 실험실
$P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ 을 $(x - k)$ 로 나눕니다. $k$ 를 끌면 몫과 나머지가 바뀌고, 나머지 = P(k) 임을 확인할 수 있습니다. (다음 차시 '나머지정리'의 씨앗!)
예제
$(2x - 1)^3$ 을 전개하여라.
- $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$, $a=2x, b=1$
- $= 8x^3 - 3\cdot4x^2\cdot1 + 3\cdot2x\cdot1 - 1 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1$
$x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ 을 $x - 3$ 으로 나눈 몫과 나머지를 구하여라.
- 계수 $1, -2, -5, 6$ 에 $k=3$ 으로 조립제법
- 몫 $x^2 + x - 2$, 나머지 $0$
- $\therefore x^3-2x^2-5x+6 = (x-3)(x^2+x-2)$
즉시 점검
연습 & 무한 연습
$(x-1)(x+1)$ 을 전개하여라.
$P(x)=x^3-2x^2-5x+6$ 일 때 $P(0)$ 의 값을 구하여라.
$(2x-1)^3$ 을 전개하여라.
$x^3-2x^2-5x+6$ 을 $x+2$ 로 나눈 나머지를 구하여라. (힌트: $k=-2$)
무한 연습 — 조립제법 나머지
$P(x)$ 를 $(x-k)$ 로 나눈 나머지를 구하세요. (나머지 $= P(k)$)
다항식도 수처럼 다룬다
덧셈·뺄셈은 동류항끼리, 곱셈은 공식으로, 나눗셈은 $A=BQ+R$ 로.
일차식으로 나눌 때 조립제법이 빠르고, 그 나머지는 곧 $P(k)$ 다.
다음 차시에서 이 사실을 나머지정리로 정리한다.